C++数据结构之二叉搜索树的实现详解

目录

前言

今天我们来学一个新的数据结构：二叉搜索树。

介绍

二叉搜索树也称作二叉排序树，它具有以下性质：

非空左子树的所有键值小于其根节点的键值非空右子树的所有键值大于其根节点的键值左，右子树都是二叉搜索树

那么我先画一个二叉搜索树给大家看看，是不是真的满足上面的性质。



我们就以根节点6为例子来看，我们会发现比6小的都在6的左边，而比6大的都在6的右边。对于6的左右子树来说，所有的节点都遵循这个规则。

同时我们还可以发现如果对搜索二叉树进行一个中序遍历，我们得到的序列是个有序序列，这就是为什么二叉搜索树也可以称作二叉排序树。

实现

节点的实现

template <typename K>
struct BTreeNode
{
	BTreeNode<K>* _left;
	BTreeNode<K>* _right;
	K _key;

	BTreeNode(const K& key)
		:_key(key), _left(nullptr), _right(nullptr)
	{}
};

二叉搜索树的查找

二叉搜索树的查找思路很简单：要找的值比当前节点小就去左子树找，比当前节点大就往右子树找，找到空节点就说明没找到返回false即可。



首先我们先看看递归的版本。

bool findR(const T &val, Node *root) //T为节点的K, Node为节点
{
    if (root == nullptr)
    {
        return false;
    }

    if (root->_key < val)
    {
        return findR(root->_right, val);
    }
    else if (root->_key > val)
    {
        return findR(root->_left, val);
    }
    else
    {
        return true;
    }
}

接着看看非递归的版本

bool find(const T &val)
{
    Node *cur = _root; //_root为二叉搜索树的根节点
    while (cur)
    {
        if (val < cur->_key)
        {
            cur = cur->_left;
        }
        else if (val > cur->_key)
        {
            cur = cur->_right;
        }
        else
        {
            return true;
        }
    }
    return false;
}

二叉搜索树的插入

二叉搜索树的插入和查找差别不大，首先寻找插入位置，比当前节点小就往左子树找，比当前节点大就往右子树找，直到找到空指针时，就可以进行一个插入。

那么要插入的值和当前节点相同该怎么办呢？我们此时实现的二叉搜索树是一个无重复元素的二叉搜索树，所以对于相同的值我采取的方式是返回一个false，大家如果想实现一个有重复元素的二叉搜索树，可以选择将重复的值放在右子树或左子树都可。

二叉搜索树的插入和查找一样，有递归和非递归两个版本，首先我们先来看看非递归的版本。

bool insert(const T &val)
{
    //空树直接改变根节点
    if (_root == nullptr)
    {
        _root = new Node(val);
        return true;
    }
    
     //非空树先寻找插入位置
    Node *pre = nullptr;
    Node *cur = _root;
    while (cur)
    {
        if (val > cur->_key)
        {
            pre = cur;
            cur = cur->_right;
        }
        else if (val < cur->_key)
        {
            pre = cur;
            cur = cur->_left;
        }
        else
        {
            return false;
        }
    }
    //判断新节点该插入到哪里
    cur = new Node(val);
    if (val < pre->_key)
    {
        pre->_left = cur;
    }
    else
    {
        pre->_right = cur;
    }
    return true;
}

接下来用一个动画来表示一下这个插入过程。



接下来我们来看看递归版本是如何实现的

bool insertR(const T &val, Node *&root)
{
    if (root == nullptr)
    {
        Node *newNode = new Node(val);
        root = newNode;
    }

    if (root->_key < val)
    {
        return insertR(val, root->_right);
    }
    else if (root->_key > val)
    {
        return insertR(val, root->_left);
    }
    else
    {
        return false;
    }
}

此时我们可以发现，递归版本没有非递归版本中的parent指针了，参数列表中只有一个root指针，这是为什么呢？

我们可以看见我们的root指针不仅是一个指针，同时它还是一个引用。这就意味着我们对root的修改也可以影响上一层传递过来的指针的值。所以此时我们不需要parent指针，就可以对上一个节点的指针进行一个修改。

二叉搜索树的删除

理论部分：

二叉搜索树的删除相比前面两个要麻烦那么一丢丢，首先当然是找要删除的节点，找到后通常有以下三种情况：

此节点无左右子树此节点有右子树或右子树此节点有左右子树

我们要做的就是对这三种情况分别进行一个处理。

1.首先是此节点无左右子树，这种情况我们直接将此节点删除即可

2.然后是此节点只有一颗子树，这个也比较简单，如果此节点是父节点的左节点，那么我们只需要将父节点的左指针改成指向此节点的子树即可。



3.最后一种就是既有左子树又有右子树的情况了，此时为了不破坏结构，我们需要用到替换删除法。首先我们先找到要删除的节点，然后找节点的左子树的最右节点或右子树的最左节点，将两个节点进行一下互换，再将原节点删除。



代码部分：

首先是非递归版本

bool erase(const T &val)
{
    Node *cur = _root;
    Node *pre = nullptr;
    //寻找删除位置
    while (cur)
    {
        if (cur->_key < val)
        {
            pre = cur;
            cur = cur->_right;
        }
        else if (cur->_key > val)
        {
            pre = cur;
            cur = cur->_left;
        }
        else //找到了进行删除
        {
            if (cur->_left == nullptr) //左子树为空
            {
                if (cur == _root)
                {
                    _root = cur->_right;
                }
                else
                {
                    if (cur == pre->_left)
                    {
                        pre->_left = cur->_right;
                    }
                    else
                    {
                        pre->_right = cur->_right;
                    }
                }
                delete cur;
            }
            else if (cur->_right == nullptr) //右子树为空
            {
                if (cur == _root)
                {
                    _root = cur->_left;
                }
                else
                {
                    if (cur == pre->_left)
                    {
                        pre->_left = cur->_left;
                    }
                    else
                    {
                        pre->_right = cur->_left;
                    }
                }
                delete cur;
            }
            else //左右子树都不为空
            {
                //找左子树的最右节点
                Node *tmp = cur->_left;
                Node *tmp_pre = cur;
                while (tmp->_right) 
                {
                    tmp_pre = tmp;
                    tmp = tmp->_right;
                }
				//节点互换
                cur->_key = tmp->_key;

                if (tmp == tmp_pre->_left)
                {
                    tmp_pre->_left = tmp->_left;
                }
                else
                {
                    tmp_pre->_right = tmp->_left;
                }

                delete tmp;
            }
            return true;
        }
    }
    return false;
}

接下来是递归版本

bool eraseR(const T &val, Node *&root)
{
    //找不到返回false
    if (root == nullptr)
    {
        return false;
    }
	//寻找插入位置
    if (root->_key < val)
    {
        return eraseR(val, root->_right);
    }
    else if (root->_key > val)
    {
        return eraseR(val, root->_left);
    }
    else
    {
        if (root->_left == nullptr)//左子树为空
        {
            root = root->_right;
        }
        else if (root->_right == nullptr)//右子树为空
        {
            root = root->_left;
        }
        else //左右子树都不为空
        {
            Node *cur = root->_left;
            while (cur->_right)
            {
                cur = cur->_right;
            }
            swap(cur->_key, root->_key);
            return eraseR(val, root->_left);
        }
        return true;
    }
}

总结

大家觉得二叉搜索树的时间复杂度是多少呢？O(logn)吗？不，它的时间复杂度还是O(n)，当插入数据是有序的，二叉搜索树会发生退化，变成一个单支树。比如下面这张图：



为了解决这个问题，有人对二叉搜索树进行了一些优化，如：AVL树和红黑树，之后我也会带着大家来实现一个完整的AVL树和红黑树

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