由于对元素求模各等价类的个数即为等价类中每个元素的间隔长度，因此实际在i个元素中进行iter个移位所得的等价类即为：
i×iter/lcm(n,i)=gcd(i,iter)=gcd(i,(⌈n/i⌉×β-α)×gcd(n,i))，由于i=β×gcd(n,i)可得gcd(β,⌈n/i⌉×β-α)=1
由此可知gcd(i,iter)=gcd(n,i)，因此结论得证，共有cnt=gcd(n,i)个等价类，每个等价类的代表所构成的集合为{0,1,…,cnt-1}（用近世代数的术语来说，也就是旋转产生的置换群的陪集个数）。
因此上述伪码可重写为：
/*LOOPSHIFT(V,i) --gcd version*/
for cnt←0 to gcd(n,i)-1 /*n=length[V], "cnt←0 to n"means assign cnt in [0,n] */
do temp←V[cnt]
k←i
for j←1 to (length[V]/gcd(n,i))-1
do V[(k-i)%n]←V[k%n]
k←k+i
V[(k-i)%n]←temp
第二种方法(递归法)：令V=ab(a为要移位的个数，length[a]与length[b]不一定相等)，则旋转向量V实际就是交换向量ab得到ba，假定length[a]<length[b]，分解向量b=αβ，使得length[a]=length[β]，同样借助一个临时变量temp可实现向量a和β的交换，可得到第一次迭代之后的向量为βαa，接下来在对βα向量执行同样地交换，执行一系列交换之后最终得到向量ba，而递归最终到达不动点(fix-point)的条件即为所要交换的两个向量长度相等，即移位值为0。实际就是将原问题分解为一系列性质类似的子问题，利用分治的思想逐个击破，最终达到整体交换的目标。
以上方法的伪码实现为：
/*LOOPSHIFT(V,i) --recurrence version*/
//RECSHIFT(V, i, low, high) /*low:lower_bound high:higher_bound*/
if low=high || high<i /*i is a fix value*/
then return
if i-low>high-i+1 /*select a min value as the count of reversion*/
then revcnt←high-i+1
flag←1 /*set the flag value low bound increase*/
else revcnt←i-low
for j←0 to revcnt-1 /*swap the elem in the vector i times*/
do temp←V[low+j]
V[low+j]←V[high+1+j-revcnt]
V[high+1+j-revcnt]←temp
if flag=1
then low←low+revcnt
else high←high-revcnt
RECSHIFT(V,i,low,high) /*call itself*/
